BLOG SONIA : BILANGAN CACAH || Pendidikan Matematika SD Kelas Rendah

A. Bilangan Cacah dan Operasinya

1) Sejarah Bilangan Cacah

Sesungguhnya sejak awal peradaban manusia telah mengenal ilmu matematika, hanya saja waktu itu matematika tidak memakai angka-angka seperti pada zaman sekarang. Pada zaman dahulu manusia menggunakan berbagai simbol untuk mrenunjukan bilangan, misalnya menggunakan potongan kayu, simpul-simpul pada kayu atau anggota badan, seperti tangan.

Sekarang, penggunaan simbol untuk menunjukan bilangan mulai ditinggalkan. Mereka mulai mengembangkan sistem bilangan. Pada Awalnya, berhitung dengan bilangan hanya terdiri dari bilangan 1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9.

Baru pada sekitar abad kedelapan seorang matematikawan muslim dari negeri persia yang bernama Al-Khawarizmi menyempurnakan sistem ini dengan memperkenalkan bilangan NOL,ternyata penemu bilangan nol (0) adalah matematikawan muslim dari negeri Persia yaitu AL-khawarizmi, sehingga menjadi bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 yang kemudian disebut sebagai bilangan cacah dan disimbolka dengan huruf C.

Perbedaan angka dan bilangan, sebuah angka digunakan untuk melambangkan bilangan, empitas abstrak dalam ilmu matematika. Tetapi bagi orang awam angka dan bilangan seringkali dianggap entitas yang sama. Merekapun menganggap angka dan bilangan sebagai bagian dari matematika. Memang bahasa Indonesia belum cukup baku sebagai alat komunikasi dalam ilmu sains, sehingga belum ada konsensus resmi bahwa “angka” dan biangan melambangkan dua hal yang sangat berbeda. Demukian pula, kata angka dan bilangan masih sering diperhatikan dengan kata nomor. (Abdul Halim Fathani, 2009: 119)



2) Pengertian Bilangan Cacah

Menurut Abdul Halim Fathani (2009: 125) Himpunan bilangan cacah (whole numbers) adalah himpunan bilangan yang anggotanya merupakan bilangan bulat positif dan bilangan nol atau himpunan bilangan asli yang dimulai dari nol. Himpunan bilangan cacah disimbolkan dengan hurup W dan memiliki anggota: W = (0,1,2,3,4,5,6, ......), maka dapat disimpulkan bilangan caca itu adalah sebuah himpunan bilangan dimana didalamnya terdiri dari bilangan bulat yang dimulai dari nol dan bukan merupakan bilangan negative.

Contoh :

kita lihat kumpulan mahasiswa di kelas.Banyaknya mahasiswa yang ada di kelas tersebut dinyatakan dengan suatu bilangan. Setiap kumpulan dapat dihubungkan dengan suatu bilangan dan setiap bilangan memiliki lambang bilangan.Misalnya “ 5 “ mewakili bilangan lima.Kata “lima “ adalah nama untuk bilangannya. Coba bayangkanlah kumpulan sapi-sapi berwarna hijau atau kumpulan kambing berwarna orane .Kumpulan tersebut tidak memiliki anggota. Maka kita sebut kumpulan demikian itu himpunan kosong. Bilangan untuk bilangan kosong adalah nol, lambangnya adalah 0. Contoh : kumpulan kucing di kelas pgsd adalah himpunan kosong. Banyaknya anggota himpunan tersebut adalah 0. Dengan demikian bilangan cacah adalah bilangan-bilangan 0,1,2,3,4,5,…..dst.



3) Ketidaksamaan Pada Bilangan Cacah

Kita bandingkan dua bilangan yang tidak sama.

3 < 8 (3 kurang dari 8)

9 > 5 ( 9 lebih dari 5 )

Pernyataan-pernyataan diatas disebut ketidaksamaan.. Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan antara lain :

1) Himpunan bilangan asli = { 1, 2, 3, 4, ...}

2) Himpunan bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}

3) Himpunan bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}

4) Himpunan bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}

5) Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}

6) Himpunan bilangan tersusun (komposit) = {4, 6, 8, 12, ...}



4) Sifat-sifat Bilangan Cacah

a. Dua bilangan itu sama atau tidak sama.Jika tidak sama tentulah salah satu lebih kecil daripada yang lain.Dengan demikian kita temukan satu sifat urutan bilangan,yakni : Jika a dan b bilangan cacah maka tepat satu dari yang dibawah ini harus benar.

a = b atau a < b atau b < a

b. Urutan dua bilangan tidak berubah jika kedua bilangan itu ditambah dengan bilangan yang sama. Jika a < b tentu a + c < b + c

5) Operasi Bilangan Cacah

Macam-macam operasi bilangan cacah:

1) Operasi penjumlahan pada bilangan cacah

Pengerjaan jumlah atau penjumlahan merupakan pengerjaan thing yang pertama kali dikenal anak-anak.Bukan saja dikenal di sekolah tetapi juga mungkin dikenal di masyarakat sebelum anak-anak mengenal sekolah.

Anak-anak untuk pertama kali memperoleh pengajaran penjumlahan pada umumnya di kelas I SD. Jadi taraf berpikirnya masih kongkret.Oleh karena itu pengajaran akan lebih dipahami apabila diberikan menggunakan benda-benda kongkret atau alat peraga dan dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari.

Ada 4 pendekatan atau jalan untuk menerangkan penjumlahan,yaitu dengan :

a. Penjumlahan melalui kumpulan

Penjumlahan dengan menggunakan dasar kumpulan didasarkan pada gabungan dua kumpulan lepas.Mengingat dunia anak-anak masih real maka kumpulan yang diambil harus kumpulan dengan anggota real atau gambar dengan anggota real.

b. Penjumlahan melalui pengukuran

Pada penjumlahan dengan pengukuran,yang dijumlahkan itu bukan bilangan cardinal dari kumpulan-kumpulan,tetapi ukuran panjangnya.Penjumlahan dengan pengukuran dapat diperagakan dengan garis bilangan,timbangan bilangan atau batang Cuisenaire ( berwarna).

c. Penjumlahan melalui mesin fungsi

Pada umumnya mesin fungsi tidak dipergunakan untuk menerangkan penjumlahan atau pengerjaan hitung lainnya,tetapi lebih banyak dipergunakan untuk latihan dan pengenalan pada fungsi. Penjumlahan dengan cara bersusun panjang dan bersusun pendek

Contoh : 438 + 562 =

Jumlah ini dapat kita tentukan dengan

1) cara bersusun panjang

438 = 400 + 30 + 8

562 = 500 + 60 + 2

= 900 + 90 + 10

= 900 + ( 90 + 10 ) + 0

= 900 + 100

= 1000

2) cara bersusun pendek/penjumlahan berdasarkan nilai tempat dengan menyimpan

11

438

562

1000

Di dalam penjumlahan bilangan cacah berlaku sifat-sifat :

Sifat tertutup

Hasil penjumlahan bilangan cacah a dan b berupa bilangan cacah

0 + 1 = 1 ( bilangan cacah)

1 + 2 = 3 ( bilangan cacah )

a) Sifat komutatif ( pertukaran )

Pada operasi penjumlahan sembarang bilangan cacah a dan b berlaku

a + b = b + a

contoh : 1 + 0 = 0 + 1 = 1

3 + 1 = 1 + 3 = 4

b) Sifat asosiatif ( pengelompokan )

Pada operasi sembarang bilangan cacah a , b dan c berlaku

( a + b ) + c = a + ( b + c)

contoh : ( 1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 ) = 6

( 3 + 1 ) + 6 = 3 + ( 1 + 6 ) = 10

c) Unsur identitas

Hasil penjumlahan bilangan nol dengan bilangan cacah a adalah bilangan a itu sendiri, sehingga berlaku

0 + a = a + 0 = a

contoh : 0 + 3 = 3 + 0 = 3

5 + 0 = 5

2) Operasi pengurangan pada bilangan cacah

Setelah operasi penjumlahan, operasi berikutnya adalah pengurangan. Operasi ini dibandingkan dengan penjumlahan banyak ditemui permasalahan. Fakta-fakta dasar pengurangan , bilangan yang dikurangi harus kurang atau sama dengan 18, sedangkan pengurangannya ialah bilangan cacah dari 0 sampai 9, 18-9 adalah fakta dasar, 18-2, 17-15, 7-9 adalah contoh-contoh bukan fakta dasar pengurangan.

Operasi pengurangan pada bilangan cacah merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan yang telah dijelakan diatas.

Contoh :

a – b = c sama dengan b+c =a

(a harus lebih besar dari b)

A – b =b – a (bila kedua bilangan nilainya sama, a = b)

Di dalam pengurangan bilangan cacah tidak berlaku sifat identitas karena a – 0 = 0 – a

Contoh : 3 – 1 = 2

3) Operasi perkalian bilangan cacah

Konsep perkalian bilangan cacah dapat di definisikan sebagai hasil penjumlahan berulang-ulang dari bilangan cacah yang dikalikan.

Contohnya :

3 x 4 = 4 + 4 +4 + 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3

di dalam perkalian bilangan cacah juga berlaku sifat :

a x b = b x a

( a x b ) x c = a x (b x c) => sifat pengelompokan

a x 1 = 1 x a => sifat identitas

a x ( b x b ) + ( a x c ) => sifat distribusi

4) Operasi pembagian bilangan cacah

Di dalam operasi pembagian bilangan cacah, berlaku konsep penguragan berulang, misalnya : 10 : 2 = 10 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2

Hasil dari pembagian tersebut adalah jumlah pengulangan angka yang dikurangkan, pada contoh di atas hasilnya adalah 5. Seperti halnya didalam operasi pengurangan bilangan cacah, di dalam operasi pembagian ini juga tidak berlaku sifat-sifat pertukaran, identitas, pengelompokan, dan distributive.





B. Cara pembelajaran bilangan cacah dan operasinya

1. Model Pembelajaran Bilangan Cacah

Pembelajaran koopratif merupakan model pembelajaran yang menekankan adanya kerjasama antar siswa dalam kelompoknya untuk tujuan belajar.

2. Metode Pembelajaran Bilangan Cacah

Metode yang dapat digunakan untuk pembelajaran bilangan cacah diantaranya adalah:

a. Metode ceramah, metode ini berupa penyampaian informasi kepada peserta didik

b. Metode demonstrasi, guru dapat memperlihatkan proses, peristiwa, atau cara kerja suatu alat kepada peserta didik

c. Metode tanya jawab, bahan ajar yang berbentuk pertanyaan dan jawaban.

d. Metode penugasan, guru memberi tugas yang harus dikerjakan oleh peserta didik.

e. Metode latihan

Metode permainan, bahan ajar atau evaluasi yang dibentuk dalam sebuah permaianan.

3. Cara Penanaman Konsep Dasar Bilangan Cacah dengan Bermain

Banyak cara untuk menanamkan konsep matematika yang dapat merangsang anak / peserta didik berpikir dengan bermain antara lain :

a. Menyuruh anak / peserta didik menghitung takaran minyak atau air.

Melipat-lipat kertas atau serbet lalu tanyakan anak / peserta didik berapa bagian lipatan kertas tersebut atau berapa bagian lipatan kertas itu dari keseluruhan.

b. Menghitung jumlah keluarga, di samping itu menghitung menurut jenis kelamin, usia tua dan muda dan lain-lain.

c. Melibatkan anak menghitung belanjaan dan mengikutsertakan anak mencari belanjaan di toko.

d. Suruh anak / peserta didik menghitung atau memasang-masangkan barang-barang seperti sepatu, sandal, kaos kaki dan lain-lain.

e. Anak / peserta didik diajari dan dilatih menyelidiki sesuatu tidak hanya menerima fakta. Misalnya orang tua dapat menanam biji kacang di dua tempat, satu di luar rumah dan satu di dalam rumah.



Pendidik / orang tua jangan menonjolkan diri sebagai penguasa tetapi lebih diutamakan sebagai pembimbing dalam belajar. Untuk lebih menanamkan konsep matematika diperlukan banyak aturan permainan sehingga tanpa disadari oleh anak / peserta didik bahwa mereka telah disuguhi pelajaran matematika. Dan untuk lebih merangsang minat anak-anak belajar matematika adalah dengan menyajikan materi matematika dengan menggunakan bahasa yang sederhana yang mudah dimengerti, sehingga mereka lebih mudah belajar dan menerima penjelasan dari pendidiknya maupun dari orang tuanya.

Contoh permainan:

Mintalah seseorang untuk memikirkan dua bilangan yang lambang bilangannya masing - masing tidak lebih dari 2 angka, misalnya nomor sepatu dan usia, tanggal dan bulan kelahiran, dan lain-lain. Dan lakukanlah perhitungan sebagai berikut : Bilangan pertama dikalikan dengan 2, hasilnya ditambah 3, hasilnya kalikan 5, tambah lagi 4, lalu kalikan dengan 10, dan terakhir tambahkan bilangan kedua. Suruhlah ia memberitahukan hasil perhitungannya. Dengan mengurangkan 190 kepada hasil perhitungannya si anak kita dapat menyebutkan kedua bilangan yang dirahasiakan itu. Andaikan selisih antara hasil perhitungan anak dengan 190 ialah 2435. Maka bilangan pertama ialah 24 dan bilangan kedua 35.

sumber : 

Rahayu, Nurhayati. 2009. Matematika itu Gampang. Jakarta: Transmedia

Heruman. 2007. Model Pembelajaran Matematika, di Sekolah Dasar. Bandung: PT. Remaja Rosdakarya